Este es un extracto de un experimento real realizado por el autor en 2017 en el Laboratorio de Fenómenos Colectivos en la Facultad de Ciencias de Ciudad Universitaria.
El siguiente procedimiento explicativo del tratamiento de los datos va de acuerdo a lo tratado por Stephanie Bell en A Beginner’s Guide to Uncertainty of Measurement [1], quien se apega a la GUM de la JCGM [2].
Supongamos que queremos hallar la velocidad del sonido en distrintos gases, en nuestro caso: aire, dióxido (CO2) de carbono y helio (He2).
El montaje es el siguiente: El tubo de impedancia o Tubo de Kundt es un dispositivo utilizado para medir longitudes de onda de perturbaciones en gases a frecuencias específicas. Es un tubo de plástico transparente que tiene una bocina en un extremo y un pistón con micrófono en el otro. Primero abre el pistón lo más psoible y se llena el tubo con el gas deseado a través de las mangueras que se encuentran sobre la bocina. Se anota la presión a la que se llenó el tubo. Se cierran bien las mangueras.
Se coneta el canal 1 del Osciloscopio a las dos terminales de la bocina según los colores (rojo y negro) con el cable especial tipo BNC-banana doble apilable. Se conecta el generador de ondas conforme a los colores apilados (conectados a la entrada tipo banana adicional) del de la terminales apilables de los cables sobre la bocina. Se conecta el segundo canal del osciloscopio a la salida del preamplificador en sus colores correspondientes através del cable BNC-banana doble. Por último, el pistón del tubo tiene micrófono con una terminal. Se conecta con un cable BNC-banana simple a la entrada del preamplificador. Se conectan a la corriente y encienden los tres dispositivos.
Se anota la temperatura ambiente del laboratorio. Esto es una buena práctica en todos los experimentos de Fenómenos Colectivos o Termodinámica. En la pantalla del osciloscopio se pueden observar elipses que forman las llamadas curvas de Lissajous. En el generador de ondas se selecciona la frecuencia deseada usando las perillas (normal y de ajuste fino de ser enecesaria). Realiza la medición de cada frecuencia usada.
Mueve el pistón del tubo hacia la bocina lo más posible, nota cómo cambian las curvas mostradas en el osciloscopio. Aleja poco a poco el pistón de la bocina observando de nuevo las curvas formadas en el osciloscopio. Las las curvas se alinearán en una recta por primera vez. Coloca una marca con marcador no permamente sobre este punto del tubo y sigue moviendo moviendo el pistón.
Cuando se alinien las curvas por tercera vez, detén el pistón, toma el flexómetro y mide la distacia desde la marca que hiciste hasta donde se encuentra ahora. Esta es la longitud de onda ($\lambda$). (Notarás que, si cabe una segunda longitud de onda en el tubo, las curvas se volverán una recta por quinta vez a exactamente el doble de la distancia, pero no es necesario realizar una medición ahí.) Realiza estas mediciones con cuantas frecuencias distintas quieras, preferentemente en intervalos iguales. En este caso se usaron intervalos de 100 Hz inciando en 850 Hz. Entre más mediciones, mejor.
La ecuación que representa la velocidad de una onda en un medio es:
\[ v = \lambda f ~~~;\]
donde $I$ es la longitud de onda medida en centímetros (cm),
$f$ es la frecuencia medida en hercios (Hz = $\frac{1}{s}$)
Nota: usualmente la frecuencia se representa con una $\nu$ (nu), pero en esta notación se eligió la $f$ para que no se confunda con la $v$ de velocidad.
Tomamos 10 mediciones de la frecuencia y 10 mediciones de la longitud de onda. Tomamos el criterio de incertidumbre de la mitad de la mínima escala en distribución rectangular para $\lambda$: la mitad de la mínima escala divida entre $\sqrt{3}$. Entonces:
\[u_\lambda = \frac{0.05\text{cm}}{\sqrt{3}} = 0.0288675...\text{cm/s} = 0.00288675...\text{m/s}\]Ten en cuenta que este valor está en (cm/s) y a la hora de hacer el cálculo final, hay que reportar en m/s. Es decir, hay que dividir entre 100 al manejar el dato.
Aquí nos volvemos a enfrentar a una pequeña variación en nuestros criterios de cálculo de las incertidumbres. La del flexómetro se trata como una incertidumbre de tipo instrumental, pero la del generador de señales Pasco PI-9587C, según su manual, se expresa como una exactitud de ±(0.01 % de lectura + 1 dígito). Esto significa que el error máximo absoluto en la medición de la frecuencia es:
\[ a = (0.0001\,f + 0.01~\text{Hz}) \]
y, al no haberse especificado un factor de cobertura \(k\), se asume una distribución rectangular. Por tanto, la incertidumbre Tipo B estándar asociada a la frecuencia es:
\[ u_B(f) = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0.0001\,f + 0.01~\text{Hz}}{\sqrt{3}}. \]
La resolución mínima del generador es de 0.01 Hz, que corresponde exactamente a ese “1 dígito” indicado por el fabricante.
Este procedimiento sigue el mismo criterio de la Guía Rápida —caso 2— de la Lección 5, para instrumentos con incertidumbre recomendada: si el fabricante proporciona una incertidumbre expandida con factor \(k\), se divide entre \(k\); si en cambio especifica una exactitud o tolerancia del tipo “±(% de lectura + dígito)”, se interpreta como un rango máximo de error y se divide entre \(\sqrt{3}\).
| # | $f [\text{Hz}]$ | $u_f (f)[\text{Hz}]$ | $\lambda$ ($\pm 0.5 \text{cm}$ ) | $v_{\text{aire}} = \lambda f$ [$\text{m/s}$] | $\pm u_c(v)$ [$\text{m/s}$] |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 850.00 | 0.063 | 40.3 | 342.0 | 3.520 |
| 2 | 950.00 | 0.063 | 36.2 | 343.9 | 3.572 |
| 3 | 1050.00 | 0.064 | 32.8 | 344.4 | 3.683 |
| 4 | 1150.00 | 0.064 | 30.4 | 349.6 | 3.854 |
| 5 | 1250.00 | 0.065 | 27.6 | 354.0 | 4.029 |
| 6 | 1350.00 | 0.0655 | 25.6 | 346.6 | 4.243 |
| 7 | 1450.00 | 0.066 | 23.8 | 345.1 | 4.472 |
| 8 | 1550.00 | 0.067 | 22.3 | 345.7 | 4.715 |
| 9 | 1650.00 | 0.067 | 20.9 | 344.9 | 4.966 |
| 10 | 1750.00 | 0.068 | 20.9 | 343.0 | 5.247 |
La incertidumbre combinada de cada medición de velocidad se calcula como:
\[ u_c(v_i) = \sqrt{(f\,u_\lambda)^2 + (\lambda\,u_f)^2}. \]
Una vez obtenidas todas las velocidades, calculamos el promedio:
\[ \bar{v} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}v_i = 347.24~\frac{\text{m}}{\text{s}}. \]
Calculamos la desviación estándar muestral:
\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(v_i - \bar{v})^2} = 6.7489, \] y la incertidumbre Tipo A: \[ u_A = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6.7489}{\sqrt{10}} = 2.13~\frac{\text{m}}{\text{s}}. \]
Combinamos en cuadratura las incertidumbres individuales de cada iteración:
\[ \text{I.C.M.} = \frac{1}{n}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}u_{c,i}^2} = 0.403~\frac{\text{m}}{\text{s}}. \]
Combinamos la estadística (Tipo A) y la I.C.M.:
\[ u_c(\bar v) = \sqrt{u_A^2 + (\text{I.C.M.})^2} = \sqrt{2.13^2 + 0.403^2} = 2.17~\frac{\text{m}}{\text{s}}. \]
Con un factor de cobertura \(k = 2\):
\[ U = k\,u_c(\bar v) = 2 \times 2.17 = 4.34~\frac{\text{m}}{\text{s}}. \]
Te dejamos aquí la hoja de cálculo para que puedas consultar todos los cálculos en la Hoja "Exp-Ejemplo 2".
¡Ahora te toca a ti! Usa la calculadora de incertidumbres o una hoja de cálculo para calcular las incertidumbres combinadas de cada valor de la velocidad del sonido en el Helio presentado en esta tabla. Presiona el botón "Calcular $U$" para obtener tu incertidumbre final dependiendo de tus respuestas.
Nota que si no escribes nada y presionas "Calcular", als incertidumbres serán tomadas como 0 para el cálculo.
| # | $f [\text{Hz}]$ | $u_f (f)[\text{Hz}]$ | $\lambda$ ($\pm 0.5 \text{cm}$ ) | $v_{\text{He}} = \lambda f$ [$\text{m/s}$] | $u(v)$ [$\text{m/s}$] |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2350 | 0.12 | 40.0 | 940.0 | |
| 2 | 2400 | 0.12 | 40.6 | 974.4 | |
| 3 | 2450 | 0.12 | 39.2 | 960.4 | |
| 4 | 2500 | 0.13 | 37.2 | 930.0 | |
| 5 | 2550 | 0.13 | 36.4 | 928.2 | |
| 6 | 2600 | 0.13 | 33.4 | 868.4 | |
| 7 | 2650 | 0.13 | 33.6 | 890.4 |
De acuerdo a tus cálculos, ¿concuerda con el valor de referencia: \[ v_{He} = 972 ~ \text{m/s} ~~~ [3] \] con tu resultado?
¿Y con \[ v_{He} = 1,007 ~ \text{m/s} ~~~ [4] \] ?
Calculador aritmética de incertidumbres