Lección 3. Tratamiento de los datos: aritmética de las incertidumbres

Cuando realizamos operaciones aritméticas con incertidumbres en nuestras mediciones debemos tener especial cuidaddo con cómo se propagan. Las mediciones indirectas son aquellos cálculos que se realizan operando mediciones directas con incertidumbres para obetner la medición de una cantidad física. Supongamos, por ejemplo, que nuestra regla quedó corta para una medición y tenemos que usarla dos veces para medir un largo total. Tendremos entonces que sumar nuestras dos mediciones.

El autor del sitio recomienda, sin embargo, solamente hacer uso de estas fórmulas cuando la medición indirecta se compone de mediciones directas donde los intrumentos "no dieron el ancho" y tuvieron que ser usados más de una vez para medir una magnitud física, o en general, cuando la cantidad que se quiere obtener es obteneible através de operar solamente medciones reproducibles (por ejemplo: si usamos una regla dos veces para medir una tabla, aunque el primer y segundo segmentos medirán diferente, si medimos cada uno de nuevo, registraremos las mismas dos mediciones diferentes) y que la obtención de esta cantidad sea un paso intermedio de un cálculo más grande.

Para la determinación de las incertidumbres de cualquier ecuación más complicada o en condiciones incluso dimunitamente más complejas de no reporducibilidad, se recomienda apegarse al uso de la incertidumbre típica combinada que se introducirá en la Lección 5.

Por último, en estos ejemplos se maneja $\delta x$ como la mitad de la mínima escala, sin embargo, los cálculos se realizan exactamente de la misma manera si utlizas $u_x = \delta x/\sqrt{3}$ en vez de $\delta x$.

Adición

Sean dos mediciones:
$X = X_0 \pm \delta X$ y
$Y = Y_0 \pm \delta Y$

Sea $Z = X + Y$, entonces:
$\rightarrow Z = (X_0 \pm \delta X) + \\ (Y_0 \pm \delta Y)$
$\rightarrow Z = (X_0 + Y_0) \pm \\(\delta X + \delta Y)$ y así
$\rightarrow Z = Z_0 + \delta Z$; donde
$\rightarrow$ $Z = X_0 + Y_0$ y $\delta Z = \delta X + \delta Y$.

Ejemplo:

Si medimos el largo de una mesa de 78 cm con una regla de 30 cm y precisión de 1 mm, tendremos que realizar tres mediciones. La incertidumbre absoluta de cada medición es $\pm 0.05 \text{cm}$. Entonces el resultado es:

$Z_0 = (30.0 + 30.0 + 18.0) \text{cm} = 78.0 \ \text{cm}$
con $\delta Z = \pm (0.05 + 0.05 + 0.05) \text{cm} = \pm 0.15 \ \text{cm}$
y finalmente
$\rightarrow$$Z = (78.0 \pm 0.15) \text{cm}$

Sustracción

Para la resta tenemos:

Sean dos mediciones
$X = X_0 \pm \delta X$ y $Y = Y_0 \pm \delta Y$.
Si nuestra resta es $Z = X - Y$, entonces:
$\rightarrow $Z = (X_0 - Y_0) \\ \pm (\delta X \textbf{+} \delta Y)$

Sirve recordar que «las incertidumbres siempre se suman, nunca se restan.»

Ejemplo:

Para calcular la diferencia (Z) de longitudes entre dos muebles de 45 cm (X) y 40 cm (Y), medidos con la misma regla que tiene por incertidumbre $\pm 0.05 \text{cm}$, calculamos:

$Z = X - Y$; con $X = (45.0 \pm 0.05)\text{cm}$ y $Y = (40.0 \pm 0.05)\text{cm}$
$Z = (45.0 - 40.0)cm \pm (0.05 + 0.05)\text{cm}$
$\rightarrow$$Z = (5.0 \pm 0.1)\text{cm}$

Multiplicación

Si $Z = a \cdot b$;
con $a = a_0 \pm \delta a$ y $b = b_0 \pm \delta b$
$Z =(a_0 \pm \delta a) \cdot (b_0 \pm \delta b)$
$\rightarrow Z = a_0 b_0 \pm a_0\delta b \pm \\ b_0 \delta a + \cancelto{0}{(\delta a)(\delta b)}$
$(\delta a)(\delta b)$ es un producto de cantidades pequeñas y es, por tanto, despreciable.
Así entonces:
$\rightarrow$ $Z = a_0 b_0 \pm (a_0 \delta b + b_0 \delta a)$

Ejemplo:

Si queremos calcular el área de la mesa del ejemplo de la adición, necesitaremos, además de su largo, su ancho. Supongamos que con nuestra misma regla de 30 cm el total de dos mediciones realizadas para el ancho fue:

$a = (30.0 + 25.0)\text{cm} \pm (0.5 + 0.5)\text{cm}$
$\rightarrow a = (55.0 \pm 0.10)\text{cm}$
Ahora, el Área de la mesa es: $A = la$;
con $l = (78.0 \pm 0.15)\text{cm}$
$\rightarrow A = (78.0 \times 55.0)\text{cm} \pm (78.0 \times 0.10 + 65 \times 0.15)\text{cm}$
$A = (4290.0 \pm 17.55)\text{cm}^2$

División

Si $Z = \frac{P}{Q} = Z_0 \pm \delta Z$; donde:
$P = P_0 + \delta P \ \ \ \text{y} \\ \ Q = Q_0 \pm \delta Q$

entonces $Z = \frac{P_0 \pm \delta P}{Q_0 \pm \delta Q} = Z_0 \pm \delta Z$;

donde: $Z_0 = \frac{P_0}{Q_0} \ \ \ \text{y} \\ \delta Z = \frac{P_0 \delta Q + Q_0 \delta P}{Q_0^2}$

Ejemplo:

Queremos calcular la densidad de un cubo hecho de una aleación de titanio para identificarla. Al medir su masa obtuvimos:

$m =(30.80 \pm 0.005) \text{g}$. Y al medir su volumen:
$V = (8.0702 \pm 0.03018)\text{cm}^3$. Entonces la densidad se calcula como:

$\rightarrow \rho_0 = \frac{m_0}{V_0} = \frac{30.80\text{g}}{8.0702\text{cm}^3} = 4.55999 \ \text{g}/\text{cm}^3\ \ \ $ y

$\rightarrow \delta \rho = \frac{m_0 \delta V + V_0 \delta m}{V_0^2} = \\ = \frac{(30.80\text{g})(0.03018\text{cm}^3) + (8.072\text{cm}^3)(0.005\text{g})}{(8.072\text{cm}^3)^2} = 0.0176647 \ \text{g/cm}^3$
que, después de los redondeos correspodiente a tres cifras siginificativas queda todo como:
$\rho = (4.56 \pm 0.018) \ \text{g/cm}^3$

Así pues, este cubo de es muy probablemente de Ti-2.5%Cu.$^1$

Potencia

Si $Z = X^n = Z_0 \pm \delta Z$;
donde $X = X_0 \pm \delta X$, así pues:

$Z_0 = X_0^n \ \ \ \text{y} \\ \delta Z = nX_0^{n-1}\delta X$
En la siguiente lección se explicará cómo obtener la incertidumbre asociada, no solamente de las operaciones aritméticas fundamentales, sino de cualquier función de números reales.

¿De dónde sacamos pues el volumen del cubo para el problema anterior? Si sabemos que sus aristas fueron medidas con un calibrador con Vernier y, para su precisión, todos las aristas de este cubo miden $a = (2.006 \pm 0.0025)\text{cm}$. Esta incertidumbre se debe a que la precisión del Vernier es de 1/20 mm. Para calcular el volumen tenemos:

$V = a^3 = V_0 \pm \delta V$;
donde: $V_0 = a_0^3 = (2.006 \text{cm})^3 = 8.07222 \ \text{cm}^3 $

$ \delta V = 3a_0^2 \delta V = 3(2.006 \text{cm})^2(0.0025\text{cm}) \\ = 0.0301803 \ \text{cm}^3$

Y finalmente, después de hacer los redondeos correspondientes, tenemos:
$V = (8.072 \pm 0.0302)\text{cm}^3$

Ponemos a tu disposición una Calculadora de Propagación de Incertidumbres, para que puedas realizar todas estas operaciones aritméticas de manera automatizada.

Ponte a prueba

Considera las siguientes mediciones con una regla y un calibrador con Vernier:

$A = (10.0 \pm 0.05)\text{cm}$
$B = (12.5 \pm 0.05)\text{cm}$
$C = (12.515 \pm 0.0025)\text{cm}$
$D = (8.735 \pm 0.0025)\text{cm}$

Para cada pregunta, recuerda redondear $Z_0$ a la última cifra significativa y dejar una más en $\delta Z$.

1. Si $Z = A + B$, ¿cuánto vale $Z$?
$Z = ($ $\pm$ $)~\text{cm}$

2. Si $Z = C - D$, ¿cuánto vale $Z$?
$Z = ($ $\pm$ $)~\text{cm}$

3. Si $Z = A \cdot C$, ¿cuánto vale $Z$?
$Z = ($ $\pm$ $)~\text{cm}^2$

4. Si $Z = C / D$, ¿cuánto vale $Z$?
$Z = ($ $\pm$ $)$

5. Si $Z = D^3$, ¿cuánto vale $Z$?
$Z = ($ $\pm$ $)~\text{cm}^3$

Bibliografía

El contenido de esta lección está basado en:
Oda Noda, B. (2005). Mediciones indirectas. Propagación de incertidumbres (pp. 19–25). En Introducción al análisis gráfico de datos experimentales (3.ª ed.). Ciudad de México: Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias. ISBN 970-321-150-X

AZoM. (2021, 11 de enero). "Titanium alloys - Physical properties" (en inglés). En https://www.azom.com/article.aspx?ArticleID=1341