Calculadora de propagación de incertidumbre Calculadora de incertidumbre combinadaLas derivadas parciales se calculan de manera muy similar a las derivadas comunes. Como se menciona en la Lección 4, basta con imaginar que todas las demás variables respecto a las cuales NO estamos derivando son constantes.
Supongamos que la temperatura \(T(x, y)\) en una placa metálica depende de la posición y se describe por:
\[ T(x, y) = 3x + 2y \]
Si derivamos con respecto a \(x\):
\[ \frac{\partial T}{\partial x} = 3 \]
El término \(2y\) se trata como una constante, porque no depende de \(x\). Fácil, ¿no? Es igual que una derivada común, solo que “congelamos” a \(y\).
Ahora tomemos otra función, por ejemplo la diferencia de presiones en dos puntos:
\[ P(x, y) = 4x - y^2 \]
Si derivamos con respecto a \(x\):
\[ \frac{\partial P}{\partial x} = 4 \]
Y si derivamos con respecto a \(y\):
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = -2y \]
En cada caso, solo una variable “se mueve” y la otra se queda fija.
Imagina una función de energía \(E(x, y) = x \cdot y^2\). Si derivamos con respecto a \(x\):
\[ \frac{\partial E}{\partial x} = y^2 \]
Y si derivamos con respecto a \(y\):
\[ \frac{\partial E}{\partial y} = 2xy \]
De nuevo, la otra variable se queda como constante. En la primera derivada, \(y^2\) es constante; en la segunda, \(x\) lo es.
Tomemos una ecuación parecida a la del gas ideal: \[ P(V, T) = \frac{T}{V} \] Si derivamos con respecto a \(V\):
\[ \frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{T}{V^2} \]
El \(T\) se trata como constante (como si la temperatura no cambiara). Y si derivamos con respecto a \(T\):
\[ \frac{\partial P}{\partial T} = \frac{1}{V} \]
Este ejemplo es muy típico en física: cuando se cambia una variable, la otra se mantiene fija.
Ahora veamos algo con logaritmo, por ejemplo: \[ f(x, y) = \ln(xy) \] Si derivamos con respecto a \(x\):
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x} \]
El \(y\) se trata como constante, así que desaparece dentro del logaritmo. Y si derivamos con respecto a \(y\):
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{y} \]
En ambos casos, la idea es la misma: solo se mueve una variable a la vez.
Supón que la posición de una partícula depende de dos variables así: \[ r(x, t) = x^2 + (3t + 1)^2 \] Si derivamos respecto a \(x\):
\[ \frac{\partial r}{\partial x} = 2x \]
Y si derivamos respecto a \(t\), hay que usar la regla de la cadena porque dentro del paréntesis hay otra función:
\[ \frac{\partial r}{\partial t} = 2(3t + 1)\cdot 3 = 6(3t + 1) \]
Otra vez, mientras derivamos con respecto a \(t\), tratamos a \(x\) como una constante.
En todos los casos, el procedimiento es el mismo que el de una derivada común. La única diferencia es que, al derivar respecto a una variable, las demás se tratan como constantes.
Supón que tenemos una función que depende de dos variables:
\[ z = f(x, y) = x^2y + 3y \]
Si tanto \(x\) como \(y\) cambian (por ejemplo, con el tiempo), entonces \(z\) también cambia por culpa de los dos. La derivada total de \(z\) se escribe así:
\[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]
Esto simplemente dice que el cambio total de \(z\) viene de dos partes: una por el cambio de \(x\), y otra por el cambio de \(y\). Vamos a calcularlo paso a paso:
Primero, encontramos las derivadas parciales:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 3 \]
Ahora, supongamos que \(x\) y \(y\) cambian con el tiempo de esta forma:
\[ \frac{dx}{dt} = 4, \quad \frac{dy}{dt} = 2 \]
Entonces la derivada total será:
\[ \frac{dz}{dt} = (2xy)(4) + (x^2 + 3)(2) \]
Si tomamos, por ejemplo, \(x = 1\) y \(y = 2\):
\[ \frac{dz}{dt} = (2(1)(2))(4) + ((1)^2 + 3)(2) \]
\[ \frac{dz}{dt} = (4)(4) + (4)(2) = 16 + 8 = 24 \]
Así que el cambio total de \(z\) con respecto al tiempo es 24. En otras palabras, cuando \(x\) y \(y\) varían al mismo tiempo, la derivada total “suma” el efecto de ambos cambios.
En resumen: la derivada total se usa cuando una función depende de varias variables que también cambian. Mientras que las derivadas parciales miden el cambio de una sola variable, la derivada total mide el cambio combinado de todas.
Ya aprendimos que la derivada total nos dice cómo cambia una función cuando todas sus variables cambian al mismo tiempo. Ahora, el diferencial total es muy parecido, pero se enfoca en los pequeños cambios o incrementos de esas variables.
En palabras sencillas: la derivada total te dice qué tan rápido cambia la función, mientras que el diferencial total te dice cuánto cambia la función cuando las variables cambian un poquito.
Si tenemos una función de dos variables:
\[ z = f(x, y) \]
entonces su diferencial total se escribe como:
\[ dz = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy \]
Aquí \(dx\) y \(dy\) representan pequeños cambios en \(x\) y \(y\). En cambio, en la derivada total (como vimos antes), se usa el tiempo o alguna otra variable que hace que tanto \(x\) como \(y\) cambien.
Supongamos que:
\[ z = x^2y \]
Entonces, el diferencial total de \(z\) será:
\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy \]
Calculamos las derivadas parciales:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy \quad \text{y} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \]
Así que:
\[ dz = (2xy)\,dx + (x^2)\,dy \]
Esto significa que si \(x\) y \(y\) cambian un poquito (por ejemplo, de \(x\) a \(x + dx\) y de \(y\) a \(y + dy\)), el cambio aproximado en \(z\) será esa combinación lineal de los dos cambios.
Supón que \(x = 2\), \(y = 3\), \(dx = 0.1\) y \(dy = -0.05\). Entonces:
\[ dz = (2(2)(3))(0.1) + (2^2)(-0.05) \]
\[ dz = (12)(0.1) + (4)(-0.05) = 1.2 - 0.2 = 1.0 \]
Eso significa que si \(x\) aumenta un poquito (0.1) y \(y\) disminuye un poquito (0.05), la función \(z\) aumentará aproximadamente 1 unidad.
En otras palabras: la derivada total te dice “qué tan rápido cambia”, y el diferencial total te dice “cuánto cambia” cuando las variables cambian un poquito.
Estos ejemplos y guía fueron realizados por el autor en base a sus apuntes de su curso de Cálculo III en la Facultad de Ciencias.