Al realizar una medición repetida varias veces en las misma condiciones, puede que la magnitud observada se repita tantas veces como la medición se lleve a cabo. Llamamos a ésta medición reproducible.
Dado que no existe variación detectable entre mediciones, podemos decir que si la hay, es menor que la mínima escala del instrumento. El instrumento de medición introduce una incertidumbre igual a la mitad de la mitad de la mínima escala...
Cuando una medición se realiza directamente con un instrumento y no se tienen mediciones repetidas, la incertidumbre proviene de la resolución del instrumento. Según la GUM (JCGM 100:2008), si el instrumento tiene una mínima escala o resolución $a$ ( hasta el momento nosotros la hemos representado mayormente por $\delta x$), y no sabemos en qué punto dentro de esa división está el valor real, se considera que los valores posibles están distribuidos uniformemente dentro de ese intervalo. Esto se llama una distribución rectangular.
En ese caso, la incertidumbre estándar asociada a una medición individual se calcula como:
\[ u_x = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\delta x}{\sqrt{3}} ~~~~~~~~ (2.1) \]Por ejemplo, si una regla tiene divisiones de 1 mm, la mitad de su mínima escala es 0.5 mm, y la incertidumbre estándar asociada será:
\[ u_x = \frac{0.5~\text{mm}}{\sqrt{3}} = 0.29~\text{mm} ~~~~~~~~ (2.2) \]Esta cantidad \(u_x\) reemplaza a la antigua notación \(\delta x\) utilizada en métodos anteriores, que asumía directamente “la mitad de la mínima escala”.
La GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) es una guía internacional elaborada por el Joint Committee for Guides in Metrology(JCGM) que establece los principios y métodos para estimar y expresar la incertidumbre asociada a los resultados de medición. Su objetivo es unificar criterios en la evaluación de la calidad de las mediciones científicas e industriales, proporcionando un marco estadístico que permite cuantificar tanto los componentes aleatorios como los sistemáticos del error, de manera que los resultados sean comparables, reproducibles y trazables a estándares internacionales.
Cualquier medición realizada con una regla cuya mínima escala es 1mm tendrá asociada una incertidumbre de 0.05 cm. Una hoja de papel tamaño carta mide $(21.9 \pm 0.005)\text{cm}$ de ancho y $(27.94 \pm 0.05)\text{cm}$ de largo si la medidmos con una de estas reglas.
Una pelota se deja caer de cierta altura 5 veces. Si medidmos el tiempo que tarda en llegar al suelo, obtenemos los siguientes:
$t_1 = 1.43 \text{s}$¿Qué resultado debemos reportar? ¿Qué incertidumbre le asignamos?
Cuando tenemos un experimento repetido bajo condiciones que suponemos iguales cada vez, y sin embargo, obtenemos mediciones ditintas, se le llama medición no reproducible. Y para nuestros tiempos no reproducibles reportaremos como resultado la media aritmética (promedio) de las mediciones obtenidas
Y para la incertidumbre, antes se usaba una estimación más simple basada en el rango máximo y mínimo de los datos, pero la GUM recomienda usar la desviación estándar de la media, porque representa mejor la confianza en los resultados cuando hay mediciones repetidas. Después veremos que a esto se le llama Incertidumbre Tipo A. Veamos el mismo ejemplo con los dos procedimientos diferentes:
La media aritmética o promedio de cualquier medición, como sabemos, es la suma de todos valores considerados como iteraciones de esa medición ($x_i$) dividido entre el número de iteraciones ($n$):
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum^n _{i=1} x_i ~~~~~~~~ (2.3) \]Para esta caso en particular:
\[ \bar{t} = t_\text{prom} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n t_i = \frac{t_1 + t_2 + ... + t_n}{n}~~; ~~~~~~~~ (2.4) \]donde $t_i$ es cada uno de los tiempos reportados y $n$ es cuántos tiempos se reportaron. Así entonces, para nuestro ejemplo:
\[ \bar{t} = \frac{1.43 + 1.44 + 1.41 + 1.45 + 1.47}{5} = 1.44 ~~~~~~~~ (2.5) \]Y la incertidumbre que le asociaremos será el rango de dispersión de los datos, es decir, el valor abosluto de la diferencia entre el valor máximo y mínimo de las mediciones:
\[ \delta x = \text{Rango de dispersión} = |x_\text{max} - x_\text{min}| ~~~~~~~~ (2.6) \]Para este caso en particular:
\[ \delta t = |t_\text{max} - t_\text{min}| = |1.47 - 1.41| = |0.06| = 0.06 ~~~~~~~~ (2.7) \]Así entonces:
\[ \bar{t} \pm \delta t = (1.44 \pm 0.06)\text{s} ~~~~~~~~ (2.8) \]Primero calculamos la media aritmética. Este primer paso es el mismo que el de la ecuación (2.4):
\[ \bar{t} = 1.44~\text{s} \]Luego obtenemos la desviación estándar muestral de las mediciones, que nos dice cuánta variación hay entre ellas. En general se define como:
\[ \sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum^n _{i=1} (x_i - \bar{x})^2} ~~~~~~~~ (2.9) \]Para este caso en particular:
\[ \sigma_t = \sqrt{\frac{(1.43-1.44)^2 + ... + (1.47-1.44)^2}{4}} = 0.022~\text{s} ~~~~~~~~ (2.10) \]Como lo que reportamos no es una sola medición, sino el promedio de varias, la incertidumbre asociada es menor que la dispersión total. Por eso usamos la desviación estándar de la media:
\[ u_{A,t} = \frac{\sigma_t}{\sqrt{n}} = \frac{0.022}{\sqrt{5}} = 0.01~\text{s} ~~~~~~~~ (2.11) \]Finalmente, expresamos el resultado con su incertidumbre tipo A:
\[ t = (\bar{t} \pm u_{A,t}) = (1.44 \pm 0.01)~\text{s} ~~~~~~~~ (2.12) \]Esto significa que el tiempo real de caída tiene una alta probabilidad de encontrarse entre 1.43 s y 1.45 s. Antes, se usaba una estimación más simple basada en el rango máximo y mínimo de los datos (±0.06 s), pero la GUM recomienda usar la desviación estándar de la media, porque representa mejor la confianza en los resultados cuando hay mediciones repetidas.
Sin embargo, queda una cuestión por resolver: si dejamos caer la pelota de la misma altura, ¿por qué obtuvimos diferentes tiempos? Los llamados errores estocásticos están involucrados en casi todas las mediciones. Surgen debido a condiciones incontrolables que afectan al observador, al instrumento de medición o a lo que se está midiendo y son los principales responsables de las mediciones que aquí llamamos “no reproducibles”.
Con fundamentos probabilísticos se puede suponer que, calculándolos a partir de un valor promedio de todas las mediciones originales, estos errores son tanto positivos como negativos generando así una dispersión “grande” o “pequeña”. Se dice que si la dispersión es “pequeña”, la precisión es “grande” (Como en la imagen de la Leccion1).
Calculadora de Propagación de Incertidumbres