La suma lineal de errores máximos fue durante mucho tiempo un método didáctico y práctico en la enseñanza inicial de laboratorio, pero hoy en día ya no se usa en la ciencia internacional ni en la metrología estándar. Las razones principales son varias, tanto matemáticas como conceptuales:
Es la incertidumbre que se asocia a una medición o a una función cuyas variables son mediciones. Para mediciones, como ya hemos visto, la incertidumbre absoluta asociada es $\delta x$ en $x=x_0 \pm \delta x$ y $x_0$ es la medición obtenida por el instrumento, y ésta es intrísica al instrumento mismo. Para funciones $f(\bar{x})$ con $\bar{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)$, es decir, una función de $n$ variables (se medirán $n$ parámetros, cada uno con su incertidumbre absoluta de medición, para cada cálculo) la incertidumbre absoluta es:
\[\delta f = \sum_{n=0}^{\infty} \Biggl|\frac{\partial f}{\partial x_i} (\bar{x}_0)\Biggr| \delta x_i ~~~~~~~~ (4.1)\]Donde $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ es la derivada parcial de la función respecto a la variable $x_i$, y esta nueva función derivada está evaluada en $\bar{x}_0$, es decir, al momento de calcular sustituiremos las variables con los valores medidos en el laboratio. ¡Es tan simple como imaginar que la variable respecto a la cual estás derivando es la única variable, y que las demás son constantes! Puedes ver cómo calcular una derivada parcial con ejemplos en el siguiente apartado:
Ejemplos de derivadas parcialesSi has cursado Cálculo III, notarás que la incertidumbre absoluta de una función de varias variables es análoga al diferencial total. En este caso, los diferenciales de cada variable son las incertidumbres absolutas de cada medición ($\delta x_i$), y multiplicarán a cada sumando. Y por último, se usa el valor absoluto de cada sumando, pues, como vimos en la Lección 3, las incertidumbres siempre se suman y nunca se restan. De hecho, todas las fórmulas de propagación de incertidumbres en la aritmética usual se pueden deducir fácilmente de esta fórmula y son en realidad solo casos especiales de esta.
Nuestro ejemplo de función será la fórmula de la Ley de Ohm: \[ V = RI ~~; ~~~~~~~~(4.2) \] , que relaciona el voltaje, la intensidad de corriente y la resistencia en cualquier punto de un circuito eléctrico. (Nuestra $f$ es $V$, es decir: $V = f(R,I) = RI$). Calculemos pues la incertidumbre absoluta del del voltaje ($V$), la resistencia ($R$) y la intensidad de corriente ($I$). Es decir, la primera incertidumbre absoluta nos servirá si en el laboratio tenemos mediciones de resistencia e intensidad de corriente y queremos calculcar con éstas el voltaje, la segunda si tenemos mediciones de voltaje e intensidad de corriente y queremos cualcular resistencia, y la última si tenemos mediciones de resistencia y voltaje y queremos calcular intensidad de corriente.
Partiendo de (4.2):
Despejando $R$ de (4.2):
Despejando $I$ de (4.2):
Recordemos que la incertidumbre absulta es:
\[ u_x = \frac{\delta x}{\sqrt{3}} = \frac{\text{mitad de la mínima escala}}{\sqrt{3}} ~~~~~~~~ (4.3)\]
Y supondremos que una medición se reporta ya con su incertidumbre en distribución rectangular y redondeada a las cifras significativas correctas.
La incertidumbre relativa indica qué tan grande es la incertidumbre en comparación con el valor medido. Se obtiene dividiendo la incertidumbre estándar (o absoluta) entre la medición:
\[ u_r(x) = \frac{u_x}{x_0} ~~~~~~~~ (4.4) \]Esta razón no tiene unidades, por lo que es un número puro (adimensional). Una incertidumbre relativa pequeña significa que la medición es más precisa en proporción a su valor.
Una longitud medida es \(x = (25.0 \pm 0.10)\,\text{cm}\). La incertidumbre relativa será:
\[ u_r(x) = \frac{0.10}{25.0} = 0.004 \]Esto significa que la incertidumbre representa apenas el 0.4 % del valor medido.
La incertidumbre porcentual es simplemente la incertidumbre relativa expresada como porcentaje. Se calcula multiplicando por 100:
\[ u_{\%}(x) = u_r(x) \cdot 100 ~~~~~~~~ (4.5) \]Siguiendo el ejemplo anterior:
\[ u_{\%}(x) = 0.004 \cdot 100 = 0.4\% \]Por tanto, se puede decir que la longitud medida tiene una incertidumbre del 0.4 %. Este valor porcentual facilita la comparación entre mediciones de distinta magnitud.
Supongamos dos esferas medidas con la misma precisión instrumental:
Aunque la incertidumbre absoluta (±0.10 cm) es la misma, el efecto relativo es muy distinto:
\[ u_r(d_1) = \frac{0.10}{25.0} = 0.004 \Rightarrow u_{\%}(d_1) = 0.4\% \] \[ u_r(d_2) = \frac{0.10}{2.5} = 0.04 \Rightarrow u_{\%}(d_2) = 4.0\% \]La esfera pequeña tiene una incertidumbre porcentual diez veces mayor, porque el mismo error absoluto representa una fracción más grande del valor medido. Esto demuestra por qué la incertidumbre relativa o porcentual es útil para comparar mediciones de diferente tamaño o escala.
Consejo: Si una medición tiene una incertidumbre porcentual mayor a 5 %, conviene revisar si el instrumento es lo bastante preciso o si se pueden hacer mediciones repetidas para reducir la dispersión.
| Tipo de incertidumbre | Símbolo y fórmula | Qué indica | Unidades | Ejemplo |
|---|---|---|---|---|
| Incertidumbre estándar (absoluta) | \(u_x = \frac{\delta x}{\sqrt{3}}\) | Mide el margen de duda del instrumento o de una medición directa. | Mismas unidades que la magnitud medida. | \(x = (10.0 \pm 0.3)\,\text{cm}\) |
| Incertidumbre relativa | \(u_r(x) = \frac{u_x}{x_0}\) | Indica qué fracción del valor medido representa la incertidumbre. | Adimensional (sin unidades) | \(u_r = \frac{0.3}{10.0} = 0.03\) |
| Incertidumbre porcentual | \(u_{\%}(x) = u_r(x) \cdot 100\) | Muestra la incertidumbre relativa expresada en porcentaje. | % | \(u_{\%} = 0.03 \cdot 100 = 3.0\%\) |
Una misma incertidumbre absoluta puede representar un valor relativo o porcentual muy distinto según el tamaño del objeto medido. Por eso, al comparar mediciones de distintas magnitudes, la incertidumbre relativa o porcentual es mucho más útil que la absoluta.
Calculadora de Propagación de Incertidumbres